EQUAÇÃO DE ONDAS DE GRACELI.

G ψ  = E ψ  =  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

G = OPERADOR DE GRACELI EM ESTADOS QUÂNTICOS QUÍMICO RELATIVÍSTICOS.

E = ENERGIA DO SISTEMA DOS ESTADOS E SEUS POTENCIAIS DE INTERAÇÕES DE CAMPOS E ENERGIAS  E TRANSFORMAÇÕES.

ψ  = função de ondas. 

μ = potencial químico.

h = constante de Planck.

c = velocidade da luz.

[ξ ]=  interações das forças fundamentais = eletromagnética, forte e fraca.

[,ς] = valência, distribuição eletrônica, níveis e subníveis de energia, estado molecular e de interações entre partículas,  potencial químico dos elementos químicos, potencial de interações e transformações entre campos e partículas,  potencial de transformações de elétrons, átomo, e elementos químicos, e outros.

 

   EQUIVALÊNCIA  GRACELI ONDAS - ENERGIA.

G ψ  = E ψ  =  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

ESTATÍSTICA GRACELI.

1 / G ψ  = E ψ  =  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c [-1] .

em que  é a degenerescência quântica do estado ,  é a energia do estado ,  é o potencial químico, e , em que  é a constante de Boltzmann[1]

EQUIVALÊNCIA MOMENTUM = ONDAS.

MO = G ψ  = E ψ  =  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

EQUIVALÊNCIA 

MASSA = ONDAS.

COMPRIMENTO = ONDAS.

ENERGIA = ONDAS.

E = M=COMPRIM. = G ψ  = E ψ  =  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

Conexão com a simetria do estado quântico

O princípio de exclusão de Pauli pode ser deduzido a partir da hipótese de que um sistema de partículas só pode ocupar estados quânticos anti-simétricos. De acordo com o teorema spin-estatística, sistemas de partículas idênticas de spin inteiro ocupam estados simétricos, enquanto sistemas de partículas de spin semi-inteiro ocupam estados anti-simétricos; além disso, apenas valores de spin inteiros ou semi-inteiros são permitidos pelos princípio da mecânica quântica.

Como discutido no artigo sobre partículas idênticas, um estado anti-simétrico no qual uma das partículas está no estado ${\displaystyle \left|\psi _{1}\right\rangle }$ (nota) enquanto a outra está no estado ${\displaystyle \left|\psi _{2}\right\rangle }$ é

${\displaystyle |\psi _{1},\psi _{2}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}|\psi _{1}\rangle |\psi _{2}\rangle -|\psi _{2}\rangle |\psi _{1}\rangle {\Big )}.}$ / 

                       G ψ  = E ψ  =  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

No entanto, se ${\displaystyle \left|\psi _{1}\right\rangle }$ e ${\displaystyle \left|\psi _{2}\right\rangle }$ são exatamente o mesmo estado, a expressão acima é identicamente nula:

${\displaystyle |\psi _{1},\psi _{2}\rangle =0.}$ 

              / G ψ  = E ψ  =  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

Isto não representa um estado quântico válido, porque vetores de estado que representem estados quânticos têm obrigatoriamente que ser normalizáveis, isto é devem ter norma finita. Em outras palavras, nunca poderemos encontrar as partículas que formam o sistema ocupando um mesmo estado quântico.

Em mecânica quântica o teorema da estatística do spin estabelece a relação direta entre o spin de uma partícula com a estatística que a mesma obedece. O spin de uma partícula é o seu momento angular intrínseco (isto é, a contribuição do momento angular que não é devido a movimentação orbital da partícula). Todas as partículas tem spin inteiro ou semi-inteiro (em unidades da constante de Planck ħ).^[1][2]

O teorema diz que:

• A função de onda de um sistema de partículas idênticas de spin inteiro tem o mesmo valor quando as posições de qualquer duas partículas são permutadas. Partículas descritas por funções de onda com simetria de permutação são chamadas de bósons.
• A função de onda de um sistema de partículas idênticas de spin semi-inteiro tem o sinal trocado após uma permutação. Partículas descritas por funções de ondas antisimétricas por permutação são chamadas de férmions.

Em outras palavras o teorema da estatística de spin diz que partículas de spin inteiro são bósons, enquanto partículas de spin semi-inteiro são férmions.

A relação entre o spin e a estatística foi formulada primeiramente por Markus Fierz em 1939 ^[3] e foi demonstrado de forma mais sistemática por Wolfgang Pauli.^[4] Fierz e Pauli discutiram seus resultados enumerando todas as teorias de campos livres sujeitas a exigência de que haja formas quadráticas para observáveis localmente comutantes, incluindo uma densidade de energia positiva e definida. Um argumento mais conceitual foi provido por Julian Schwinger em 1950. Richard Feynman demonstrou este resultado exigindo a unitariedade para espalhamento de um potencial externo variado,^[5] que quando traduzido para a linguagem de campos é uma condição no operador quadrático que acopla com o potencial.^[6]

Discussão geral

Em um dado sistema, duas partículas indistinguíveis, ocupando dois pontos distintos, tem um único estado e não dois. Isso significa que se quisermos permutar as posições das partículas, nós não ganhamos um novo estado, mas na verdade o mesmo estado físico. De fato, não é possível diferenciar qual partícula está em que posição.

Um estado físico é descrito por uma função de onda, ou – de forma mais geral – por um vetor, que é também chamado "estado"; se ignorarmos as interações com outras partículas, então as duas diferentes funções de onda são fisicamente equivalentes se seu valor absoluto for igual. Então, enquanto o estado físico não muda sob a troca das posições das partículas, a função de onda pode ganhar um sinal de menos.

Bósons são partículas com funções de onda simétricas por troca de posição, portanto se trocamos as partículas a função de onda não muda. Férmions são partículas com funções de onda anti-simétricas sob tal troca, se modo que se trocamos as posições das partículas a função de onda ganha um sinal de menos, o que quer dizer que a probabilidade de dois férmions idênticos ocuparem o mesmo estado tem que ser zero. Este é o princípio de exclusão de Pauli: dois férmions idênticos não podem ocupar o mesmo estado. Esta regra não é válida para bósons.

Em teoria quântica de campos, um estado ou uma função de onda é descrita por operadores de campo operando em um estado básico chamado de vácuo. Para que os operadores projetem as componentes simétricas ou anti-simétricas da função de onda de criação, eles obedecer uma lei de comutação apropriada. O operador

${\displaystyle \iint \psi (x,y)\phi (x)\phi (y)\,dx\,dy}$ / 

                G ψ  = E ψ  =  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

(onde ${\displaystyle \phi }$ é um operador e ${\displaystyle \psi (x,y)}$ uma função escalar) cria um estado de duas partículas com função de onda ${\displaystyle \psi (x,y)}$ , e dependendo das propriedades de comutação dos campos, ou só a parte simétrica ou só a anti-simétrica contribuem.

Vamos assumir ${\displaystyle x\neq y}$ ambos operadores atuam simultaneamente; de forma mais geral, eles possuem uma separação do tipo espaço, como será explicado mais adiante. Se os campos comutam, quer dizer que o seguinte é verdade:

${\displaystyle \phi (x)\phi (y)=\phi (y)\phi (x)}$, /

                    G ψ  = E ψ  =  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

então somente a parte simétrica de ${\displaystyle \psi }$ contribui, de tal forma que ${\displaystyle \psi (x,y)=\psi (y,x)}$, e o campo irá criar partículas bosônicas.

Por outro lado, se os campos anti-comutam, quer dizer que ${\displaystyle \phi }$ possui a seguinte propriedade:

${\displaystyle \phi (x)\phi (y)=-\phi (y)\phi (x),}$ / 

                  G ψ  = E ψ  =  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

então teremos apenas  contribuições anti-simétricas de , de tal forma que , e as partículas serão fermiônicas. Ingenuamente, nenhuma das propriedades acima tem algo a ver com o spin, que determina as propriedades de rotação das partículas, não as propriedades de troca.

Pode-se exprimir o princípio da incerteza nos seguintes termos:

O produto da incerteza associada ao valor de uma coordenada x_i e a incerteza associada ao seu correspondente momento linear p_i não pode ser inferior, em grandeza, à constante reduzida de Planck.^[6] Em termos matemáticos, exprime-se assim:

${\displaystyle \Delta x_{i}\Delta p_{i}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$ / G ψ  = E ψ  =  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

onde ${\displaystyle \hbar }$ é a Constante de Planck (h) dividida por 2π.

A explicação disso não é fácil de se entender, e fala mesmo em favor da intuição, embora o raciocínio clássico e os aspectos formais da análise matemática tenham levado os cientistas a pensarem diferentemente por muito tempo. Quando se quer encontrar a posição de um elétron, por exemplo, é necessário fazê-lo interagir com algum instrumento de medida, direta ou indiretamente. Por exemplo, faz-se incidir sobre ele algum tipo de radiação. Tanto faz aqui que se considere a radiação do modo clássico - constituída por ondas eletromagnéticas - ou do modo quântico - constituída por fótons. Caso se queira determinar a posição do elétron, é necessário que a radiação tenha comprimento de onda da ordem da incerteza com que se quer determinar a posição.^[7]

Neste caso, quanto menor for o comprimento de onda (maior frequência), maior será a precisão. Contudo, maior será a energia cedida pela radiação (onda ou fóton) em virtude da relação de Planck entre energia e frequência da radiação

${\displaystyle E=h\cdot \nu }$  /  G ψ  = E ψ  =  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

e o elétron sofrerá um recuo tanto maior quanto maior for essa energia, em virtude do efeito Compton. Como consequência, a velocidade sofrerá uma alteração não de todo previsível, ao contrário do que afirmaria a mecânica clássica.

Argumentos análogos poderiam ser usados para se demonstrar que, ao medir-se a velocidade com precisão, alterar-se-ia a posição de modo não totalmente previsível.