EQUAÇÃO DE ONDAS DE GRACELI.

G ψ  = E ψ  =  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

G = OPERADOR DE GRACELI EM ESTADOS QUÂNTICOS QUÍMICO RELATIVÍSTICOS.

E = ENERGIA DO SISTEMA DOS ESTADOS E SEUS POTENCIAIS DE INTERAÇÕES DE CAMPOS E ENERGIAS  E TRANSFORMAÇÕES.

ψ  = função de ondas. 

μ = potencial químico.

h = constante de Planck.

c = velocidade da luz.

[ξ ]=  interações das forças fundamentais = eletromagnética, forte e fraca.

[,ς] = valência, distribuição eletrônica, níveis e subníveis de energia, estado molecular e de interações entre partículas,  potencial químico dos elementos químicos, potencial de interações e transformações entre campos e partículas,  potencial de transformações de elétrons, átomo, e elementos químicos, e outros.

 

   EQUIVALÊNCIA  GRACELI ONDAS - ENERGIA.

G ψ  = E ψ  =  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

ESTATÍSTICA GRACELI.

1 / G ψ  = E ψ  =  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c [-1] .

em que  é a degenerescência quântica do estado ,  é a energia do estado ,  é o potencial químico, e , em que  é a constante de Boltzmann[1]

EQUIVALÊNCIA MOMENTUM = ONDAS.

MO = G ψ  = E ψ  =  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

EQUIVALÊNCIA 

MASSA = ONDAS.

COMPRIMENTO = ONDAS.

ENERGIA = ONDAS.

E = M=COMPRIM. = G ψ  = E ψ  =  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

Um gás de férmions, gás de Fermi ou gás de elétrons livres é um conjunto de férmions não interativos. É a versão na Mecânica Quântica de um gás ideal, para o caso de partículas fermiônicas. Elétrons em metais e semicondutores e nêutrons em estrelas de nêutrons podem aproximadamente ser considerados gases de Fermi.

A distribuição de energia dos férmions em um gás de Fermi em equilíbrio térmico é determinada por sua densidade, pela temperatura e pelos estados de energia disponíveis, via a estatística de Fermi-Dirac. Pelo princípio de exclusão de Pauli, nenhum estado quântico pode ser ocupado por mais que um férmion, então a energia total do gás de Fermi à temperatura do zero absoluto é tão grande quanto o produto do número de partículas pelo estado de energia de cada partícula. Por esta razão, a pressão de um gás Fermi é diferente de zero na temperatura de zero absoluto, em contraste com um gás ideal clássico. Esta então chamada pressão de degenerescência estabiliza uma estrela de nêutrons (um gás de Fermi de nêutrons) ou uma estrela anã branca (um gás de Fermi de elétrons) contra a tração interna da gravidade.

É possível definir uma temperatura de Fermi abaixo do qual o gás pode ser considerado degenerado. Esta temperatura depende da massa dos férmions e da energia da densidade dos estados. Para metais, a temperatura do gás de elétrons de Fermi é geralmente de muitos milhares de kelvins, quando então eles podem ser considerados degenerados. A máxima energia dos férmions a temperatura do zero absoluto é chamada energia de Fermi. A superfície da energia de Fermi no momento espacial é chamada superfície de Fermi.

Desde que as interações são negligenciadas por definição, o problema de tratar propriedades do equilíbrio e o comportamento dinâmico de um gás de Fermi se reduz ao estudo do comportamento de partículas independentes e isoladas. Como está, é ainda relativamente tratável e dá forma ao ponto de servir de base para teorias mais avançadas (tais como a teoria do líquido de Fermi ou a teoria perturbacional) as quais levam em conta as interações com algum grau de exatidão.

Descrição matemática

Dentro da estrutura que a física estatística possibilita, segue-se que com a ajuda de conjuntos estatísticos para um número médio de ocupação ${\displaystyle \langle n_{i}\rangle }$ dos estados ${\displaystyle |i\rangle }$ com a energia ${\displaystyle E_{i}}$ da estatística de Fermi-Dirac:

${\displaystyle \langle n_{i}\rangle ={\frac {1}{e^{\frac {E_{i}-\mu }{k_{B}T}}+1}}}$ / 

                     G ψ  = E ψ  =  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

Onde ${\displaystyle \mu }$ é o potencial químico, ${\displaystyle T}$ a temperatura e ${\displaystyle k_{B}}$ a constante de Boltzmann.

Estes férmions, que estão sujeitos ao princípio de exclusão de Pauli, podem estar na condição de máxima ocupação, ou seja ${\displaystyle \langle n_{i}\rangle \leq 1}$. Esta condição é que a estatística de Fermi-Dirac tratará para qualquer valor de preenchimento pleno ${\displaystyle \mu }$, porque o potencial químico de um gás ideal de Fermi não é sujeito a quaisquer restrições.

Em 1905, Albert Einstein propôs que a radiação eletromagnética era quantizada, conhecida como fóton. Ele trouxe a ideia de que se a luz é absorvida ou emitida por um corpo, isso irá ocorrer nos átomos do corpo. Quando um fóton de frequência f é absorvido por um átomo, a energia hf do fóton é transferida da luz para o átomo.^[4]

${\displaystyle E=hf\,}$ / G ψ  = E ψ  =  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

No efeito fotoelétrico, quando iluminamos uma superfície de um metal com comprimentos de onda suficientemente pequeno, a luz prova a emissão de elétrons do metal. Através de alguns experimentos, provou-se que o efeito fotoelétrico não depende da intensidade da luz incidente, mas sim de um certo comprimento de onda, chamado de comprimento de onda de corte. Esse resultado não é explicado pela física clássica. A luz, comportando-se como onda eletromagnética teria energia para ejetar elétrons, independente da frequência emitida, porém, isso não é verídico.^[4]

Esse fenômeno é facilmente compreendido quando interpretamos a luz em termos de fótons. Os elétrons são mantidos na superfície de um certo material e, para escapar dele, o elétron necessita de uma energia mínima, que depende do que o material é constituído e recebe o nome de função trabalho. Quando a energia hf cedida por um fóton a um elétron é maior que a função trabalho do material, este elétron poderá escapar do alvo.

Einstein foi premiado com o Prêmio Nobel de Física em 1921 pela explicação teórica do efeito fotoelétrico.

Louis de Broglie e as ondas de matéria

Imagem da difração de elétrons produzida em um microscópio eletrônico de transmissão.

A dualidade partícula-onda foi enunciada pela primeira vez em 1924, pelo físico francês Louis-Victor de Broglie que baseado nos estudos de Albert Einstein e Maxwell, anunciou que os elétrons apresentavam características tanto ondulatórias como corpusculares. A experiência de Young (experiência da dupla fenda) exemplifica de maneira sensível o comportamento ondulatório do elétron; e pelo que já se conhecia do mesmo como partícula - a citarem-se os experimentos realizados com o tubo de Crookes, e outros - concluiu-se a dualidade onda-partícula deste ente, visto que a difração em fenda dupla é uma propriedade notoriamente ondulatória.^[1]

De Broglie fundou seu raciocínio inicialmente na intuição e nos conhecimentos acerca do efeito fotoelétrico para chegar a esta conclusão. Durante os estudos de Albert Einstein acerca do efeito fotoelétrico - estudos que lhe renderam o prêmio Nobel - ele havia concluído que os fótons que atuavam no efeito fotoelétrico exibiam todas as propriedades esperadas de um feixe de partículas, comportando-se cada qual como uma partícula com energia E=h•f, onde f representa a frequência da onda eletromagnética associada aos fótons em consideração. Einstein concluiu desta forma que, em determinados processos, as ondas se comportam como se fossem corpúsculos. Ao levar a teoria de Einstein em conta, De Broglie se questionou se havia possibilidade de existir ondas associadas à partículas de massa - atómos, elétrons etc. Dessa forma, o físico levou em conta duas expressões já existentes: E = c.p (Einsten/Maxwell) e E = h.v (Einstein) e igualando ambas as equações, obteve a relação entre o comprimento da partícula e seu momento (p = m.v). Levando sua ideia a cabo e confrontando-a com dados empíricos o físico francês foi capaz de relacionar com sucesso o comprimento de onda associado ao comportamento ondulatório da "partícula" com sua massa mediante a fórmula λ=h/p, onde p representa o módulo do vetor quantidade de movimento, ou seja, o produto da massa pelo módulo da velocidade (m•v) do ente; h representa a Constante de Planck, e λ é o comprimento de onda associado.^[1]

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$ / G ψ  = E ψ  =  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

Observando-se a fórmula verifica-se facilmente que, à medida que a massa ou sua velocidade aumenta, diminui-se consideravelmente o comprimento de onda. Os corpos macroscópicos têm associada uma onda, porém sua massa é tão grande que pode-se afirmar que apresentam um comprimento de onda desprezível, porém não nulo. Embora no mundo macroscópico tais efeitos ondulatórios sejam por tal imperceptíveis, no mundo subatômico estes certamente não o são, e por tal, na hora de se falar sobre "partículas" atômicas é muito importante se considerar a dualidade - já que o comportamento ondulatório determinado pelo comprimento de onda que possuem é a única forma de se explicar muitos de seus fenômenos.

A piezoelectricidade é uma combinação de efeitos do comportamento elétrico do material:^[3]

$${\displaystyle D=\varepsilon E+eS\;}$$

Nessa equação, D é o deslocamento elétrico, ε é a permissividade elétrica, E representa o campo elétrico, 'e' representa a constante de stress e S é a tensão longitudinal aplicada.

Quando a aplicação de uma força F, o centro de equilíbrio das cargas positivas e negativas é deslocado, causando a polarização do material, e o consequente deslocamento de corrente.

Similarmente, considerações para o caso quando um campo elétrico E é aplicado mostram que um termo referente a stress adicional, -eE, aparece. Tem-se então a Lei de Hooke, T = cS:

$${\displaystyle T=cS-eE\;}$$

                  / G ψ  = E ψ  =  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

Se as cargas de moléculas positivas e negativas possuem magnitudes diferentes, há uma polarização espontânea. Se uma molécula possui um momento de dipolo, este material exibe uma polarização iônica. Já no caso onde há somente um tipo de elemento, mas este é polarizável, temos o efeito de polarização eletrônica.

A piezoeletricidade apresenta relação entre propriedades elétricas (E, D) e mecânicas (S, T). O modelo de um sólido piezoelétrico apresenta quatro diferentes relações entre variáveis. Assumimos que ${\displaystyle T=T(S,E)}$ e ${\displaystyle D=D(S,E)}$. Assim, temos

$${\displaystyle dT=\left({\frac {\partial T}{\partial S}}\right)dS+\left({\frac {\partial T}{\partial E}}\right)dE}$$

 / G ψ  = E ψ  =  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

$${\displaystyle dD=\left({\frac {\partial D}{\partial S}}\right)dS+\left({\frac {\partial D}{\partial E}}\right)dE}$$

        /  G ψ  = E ψ  =  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

onde todos os outros efeitos, tais como magnéticos e térmicos, assim como termos não-lineares, são ignorados.

Considerando o caso onde ao campo elétrico é aplicado sobre o material piezoelétrico (ao se colocar um material piezoelétrico num campo elétrico externo, as cargas elétricas da rede cristalina interagem com o mesmo e produzem tensões mecânicas), os segundos termos das equações acima enunciam o stress ou a tensão elétrica no material. Se o material não está confinado mecanicamente, a tensão será uma força de reação a força imposta pelo stress. Desta forma, a tensão altera a relação D e E, e assim a medição das propriedades elétricas dependentes das propriedades mecânicas. Do mesmo modo, uma tensão elétrica alterará a medição de propriedades mecânicas dependentes das propriedades elétricas. Em ambos os casos, isso demonstra a essência do acoplamento piezoelétrico. Para uma análise mais detalhada, deve-se comparar diferentes materiais piezoelétricos para identificar sua performance. Fatores como a eficiência do acoplamento a vibrações mecânicas, vibrações com campos elétricos externos, direção de aplicação do campo elétrico externo e demais, são resultados a serem considerados.

Num material piezoelétrico também interessam os seguintes coeficientes:

• Coeficiente de acoplamento eletro-mecânico:

${\displaystyle K^{2}}$ é definido como a variação de energia mecânica convertida em carga pela energia mecânica aplicada ao cristal, ou de modo similar, a energia elétrica convertida em energia mecânica pela energia elétrica aplicada ao cristal.

• Coeficiente Dielétrica: esta grandeza relaciona a quantidade de carga que uma das faces do cristal pode armazenar em relação à carga total armazenada, e que pode ser dissipada como corrente real. Existem duas constantes dielétricas: uma é a constante para o cristal livre e outra para o cristal bloqueado:

${\displaystyle \varepsilon _{l}(1-K^{2})=\varepsilon _{b}}$ / G ψ  = E ψ  =  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .